常用対数

常用対数のグラフ

常用対数（じょうようたいすう、common logarithm）とは、「10」 を底とする対数である。

定義と概要

超大雑把に言えば「ある数字」と「省略された桁数（ゼロの数）」である。

任意の正の数 x に対し、その常用対数 a は 10 を底とする対数として次の関係によって定められる（用語などの仔細はおおもとの対数の項を参照されたい）。

a = log₁₀ x ⇔ 10^a = x

例えば、log₁₀ 2 ≒ 0.3010, log₁₀ 3 ≒ 0.4771, log₁₀ 100 = 2, log₁₀ 1,000 = 3 となる。log₁₀200 ≒ 2.301 で、整数部分（2）を常用対数の指標または標数（characteristic）、小数点以下の部分（.301）を仮数（mantissa）と言う。

このとき任意の正の数 x を真数と呼び、10 を底という。

底である 10 はしばしば省略を受け、単に log x と書かれる。このような省略は文脈上誤解の無い場合に行われ、常用対数の場合それは、工学や天文学等の十進法に基づく科学的記数法の用いられる文脈であると考えられる（常用対数以外の特殊な底に関する略記に関しては対数の項参照）。

常用対数の値は、その真数が 10 のどの程度の冪と同等の規模の数値であるのかを示す指針である。実際、実数 a (1 ≤ a < 10) と非負の整数 s に対し a × 10^s と表される実数の整数部分は十進で s + 1 桁であり、逆に log x の整数部分 [log x] が s に等しい正の数は a × 10^s (1 ≤ a < 10) の形に表される。さらに、実数 a (1 ≤ a < 10) と負の整数 s に対し a × 10^s と表される数は、十進小数で小数首位（小数点以下に 0 でない数が現れる最初の桁）が小数第 (-s) 位となる。

底の変換公式 (log_a x) (log_b a) = log_b x によれば、常用対数の値は同じ数を真数とする自然対数の log₁₀ e = 約 0.43 倍の値を示す。

例

水素イオン指数

水素イオン指数（小中学校ではpHとして習うはず）は常用対数で表されている。

$\mathrm {pH} =-\log _{10}{\frac {[\mathrm {H} ^{+}]}{\mathrm {mol/L} }}$

例えばpH 6.0とpH 5.0の見かけ上の差は1.0だが、実際のアルカリ性の度合いで言えば10倍の差がある。

同様にpH 6.0とpH 4.0の見かけ上の差は2.0だが、実際のアルカリ性の度合いで言えば100倍の差がある。

常用対数表

表の左は真数の小数点第1位までを、表の上は小数点第2位を示している。 つまり、左上から順に、真数が1.00,1.01,1.02のときの対数が書かれている。 それぞれの対数は、0.0000,0.0043,0.0086となる。

数   0     1     2     3     4     5     6     7     8     9
1.0 .0000 .0043 .0086 .0128 .0170 .0212 .0253 .0294 .0334 .0374
1.1 .0414 .0453 .0492 .0531 .0569 .0607 .0645 .0682 .0719 .0755
1.2 .0792 .0828 .0864 .0899 .0934 .0969 .1004 .1038 .1072 .1106
1.3 .1139 .1173 .1206 .1239 .1271 .1303 .1335 .1367 .1399 .1430
1.4 .1461 .1492 .1523 .1553 .1584 .1614 .1644 .1673 .1703 .1732
1.5 .1761 .1790 .1818 .1847 .1875 .1903 .1931 .1959 .1987 .2014
1.6 .2041 .2068 .2095 .2122 .2148 .2175 .2201 .2227 .2253 .2279
1.7 .2304 .2330 .2355 .2380 .2405 .2430 .2455 .2480 .2504 .2529
1.8 .2553 .2577 .2601 .2625 .2648 .2672 .2695 .2718 .2742 .2765
1.9 .2788 .2810 .2833 .2856 .2878 .2900 .2923 .2945 .2967 .2989
2.0 .3010 .3032 .3054 .3075 .3096 .3118 .3139 .3160 .3181 .3201
2.1 .3222 .3243 .3263 .3284 .3304 .3324 .3345 .3365 .3385 .3404
2.2 .3424 .3444 .3464 .3483 .3502 .3522 .3541 .3560 .3579 .3598
2.3 .3617 .3636 .3655 .3674 .3692 .3711 .3729 .3747 .3766 .3784
2.4 .3802 .3820 .3838 .3856 .3874 .3892 .3909 .3927 .3945 .3962
2.5 .3979 .3997 .4014 .4031 .4048 .4065 .4082 .4099 .4116 .4133
2.6 .4150 .4166 .4183 .4200 .4216 .4232 .4249 .4265 .4281 .4298
2.7 .4314 .4330 .4346 .4362 .4378 .4393 .4409 .4425 .4440 .4456
2.8 .4472 .4487 .4502 .4518 .4533 .4548 .4564 .4579 .4594 .4609
2.9 .4624 .4639 .4654 .4669 .4683 .4698 .4713 .4728 .4742 .4757
3.0 .4771 .4786 .4800 .4814 .4829 .4843 .4857 .4871 .4886 .4900
3.1 .4914 .4928 .4942 .4955 .4969 .4983 .4997 .5011 .5024 .5038
3.2 .5051 .5065 .5079 .5092 .5105 .5119 .5132 .5145 .5159 .5172
3.3 .5185 .5198 .5211 .5224 .5237 .5250 .5263 .5276 .5289 .5302
3.4 .5315 .5328 .5340 .5353 .5366 .5378 .5391 .5403 .5416 .5428
3.5 .5441 .5453 .5465 .5478 .5490 .5502 .5514 .5527 .5539 .5551
3.6 .5563 .5575 .5587 .5599 .5611 .5623 .5635 .5647 .5658 .5670
3.7 .5682 .5694 .5705 .5717 .5729 .5740 .5752 .5763 .5775 .5786
3.8 .5798 .5809 .5821 .5832 .5843 .5855 .5866 .5877 .5888 .5899
3.9 .5911 .5922 .5933 .5944 .5955 .5966 .5977 .5988 .5999 .6010
4.0 .6021 .6031 .6042 .6053 .6064 .6075 .6085 .6096 .6107 .6117
4.1 .6128 .6138 .6149 .6160 .6170 .6180 .6191 .6201 .6212 .6222
4.2 .6232 .6243 .6253 .6263 .6274 .6284 .6294 .6304 .6314 .6325
4.3 .6335 .6345 .6355 .6365 .6375 .6385 .6395 .6405 .6415 .6425
4.4 .6435 .6444 .6454 .6464 .6474 .6484 .6493 .6503 .6513 .6522
4.5 .6532 .6542 .6551 .6561 .6571 .6580 .6590 .6599 .6609 .6618
4.6 .6628 .6637 .6646 .6656 .6665 .6675 .6684 .6693 .6702 .6712
4.7 .6721 .6730 .6739 .6749 .6758 .6767 .6776 .6785 .6794 .6803
4.8 .6812 .6821 .6830 .6839 .6848 .6857 .6866 .6875 .6884 .6893
4.9 .6902 .6911 .6920 .6928 .6937 .6946 .6955 .6964 .6972 .6981
5.0 .6990 .6998 .7007 .7016 .7024 .7033 .7042 .7050 .7059 .7067
5.1 .7076 .7084 .7093 .7101 .7110 .7118 .7126 .7135 .7143 .7152
5.2 .7160 .7168 .7177 .7185 .7193 .7202 .7210 .7218 .7226 .7235
5.3 .7243 .7251 .7259 .7267 .7275 .7284 .7292 .7300 .7308 .7316
5.4 .7324 .7332 .7340 .7348 .7356 .7364 .7372 .7380 .7388 .7396


5.5 .7404 .7412 .7419 .7427 .7435 .7443 .7451 .7459 .7466 .7474
5.6 .7482 .7490 .7497 .7505 .7513 .7520 .7528 .7536 .7543 .7551
5.7 .7559 .7566 .7574 .7582 .7589 .7597 .7604 .7612 .7619 .7627
5.8 .7634 .7642 .7649 .7657 .7664 .7672 .7679 .7686 .7694 .7701
5.9 .7709 .7716 .7723 .7731 .7738 .7745 .7752 .7760 .7767 .7774
6.0 .7782 .7789 .7796 .7803 .7810 .7818 .7825 .7832 .7839 .7846
6.1 .7853 .7860 .7868 .7875 .7882 .7889 .7896 .7903 .7910 .7917
6.2 .7924 .7931 .7938 .7945 .7952 .7959 .7966 .7973 .7980 .7987
6.3 .7993 .8000 .8007 .8014 .8021 .8028 .8035 .8041 .8048 .8055
6.4 .8062 .8069 .8075 .8082 .8089 .8096 .8102 .8109 .8116 .8122
6.5 .8129 .8136 .8142 .8149 .8156 .8162 .8169 .8176 .8182 .8189
6.6 .8195 .8202 .8209 .8215 .8222 .8228 .8235 .8241 .8248 .8254
6.7 .8261 .8267 .8274 .8280 .8287 .8293 .8299 .8306 .8312 .8319
6.8 .8325 .8331 .8338 .8344 .8351 .8357 .8363 .8370 .8376 .8382
6.9 .8388 .8395 .8401 .8407 .8414 .8420 .8426 .8432 .8439 .8445
7.0 .8451 .8457 .8463 .8470 .8476 .8482 .8488 .8494 .8500 .8506
7.1 .8513 .8519 .8525 .8531 .8537 .8543 .8549 .8555 .8561 .8567
7.2 .8573 .8579 .8585 .8591 .8597 .8603 .8609 .8615 .8621 .8627
7.3 .8633 .8639 .8645 .8651 .8657 .8663 .8669 .8675 .8681 .8686
7.4 .8692 .8698 .8704 .8710 .8716 .8722 .8727 .8733 .8739 .8745
7.5 .8751 .8756 .8762 .8768 .8774 .8779 .8785 .8791 .8797 .8802
7.6 .8808 .8814 .8820 .8825 .8831 .8837 .8842 .8848 .8854 .8859
7.7 .8865 .8871 .8876 .8882 .8887 .8893 .8899 .8904 .8910 .8915
7.8 .8921 .8927 .8932 .8938 .8943 .8949 .8954 .8960 .8965 .8971
7.9 .8976 .8982 .8987 .8993 .8998 .9004 .9009 .9015 .9020 .9025
8.0 .9031 .9036 .9042 .9047 .9053 .9058 .9063 .9069 .9074 .9079
8.1 .9085 .9090 .9096 .9101 .9106 .9112 .9117 .9122 .9128 .9133
8.2 .9138 .9143 .9149 .9154 .9159 .9165 .9170 .9175 .9180 .9186
8.3 .9191 .9196 .9201 .9206 .9212 .9217 .9222 .9227 .9232 .9238
8.4 .9243 .9248 .9253 .9258 .9263 .9269 .9274 .9279 .9284 .9289
8.5 .9294 .9299 .9304 .9309 .9315 .9320 .9325 .9330 .9335 .9340
8.6 .9345 .9350 .9355 .9360 .9365 .9370 .9375 .9380 .9385 .9390
8.7 .9395 .9400 .9405 .9410 .9415 .9420 .9425 .9430 .9435 .9440
8.8 .9445 .9450 .9455 .9460 .9465 .9469 .9474 .9479 .9484 .9489
8.9 .9494 .9499 .9504 .9509 .9513 .9518 .9523 .9528 .9533 .9538
9.0 .9542 .9547 .9552 .9557 .9562 .9566 .9571 .9576 .9581 .9586
9.1 .9590 .9595 .9600 .9605 .9609 .9614 .9619 .9624 .9628 .9633
9.2 .9638 .9643 .9647 .9652 .9657 .9661 .9666 .9671 .9675 .9680
9.3 .9685 .9689 .9694 .9699 .9703 .9708 .9713 .9717 .9722 .9727
9.4 .9731 .9736 .9741 .9745 .9750 .9754 .9759 .9763 .9768 .9773
9.5 .9777 .9782 .9786 .9791 .9795 .9800 .9805 .9809 .9814 .9818
9.6 .9823 .9827 .9832 .9836 .9841 .9845 .9850 .9854 .9859 .9863
9.7 .9868 .9872 .9877 .9881 .9886 .9890 .9894 .9899 .9903 .9908
9.8 .9912 .9917 .9921 .9926 .9930 .9934 .9939 .9943 .9948 .9952
9.9 .9956 .9961 .9965 .9969 .9974 .9978 .9983 .9987 .9991 .9996

関連項目

• 対数
• 自然対数
• 二進対数
• 片対数グラフ